什么导数，如何求导

什么是导数？

‌导数（Derivative）‌ 是微积分中的核心概念，它描述了一个函数在某一点处的 ‌瞬时变化率‌。通俗来说：

• 导数就是函数在某点的 ‌变化速度‌
• 几何意义：函数曲线在该点的 ‌切线斜率‌
• 物理意义：位移函数的导数是速度，速度函数的导数是加速度

‌数学定义‌：
函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数定义为：

f′(x0)=lim⁡Δx→0 f(x0+Δx)−f(x0)Δxf′(x0)=Δx→0limΔx**f(x0+Δx)−f(x0)

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如何求导？（求导方法详解）

一、基本函数求导公式（必须掌握）

函数类型	原函数	导数
常数函数	c	0
幂函数	xn	nxn−1
指数函数	ex	ex
指数函数	ax	axln⁡a
对数函数	ln⁡x	1x
三角函数	sin⁡x	cos⁡x
	cos⁡x	−sin⁡x
	tan⁡x	sec⁡2x

二、求导法则（组合函数求导）

1. ‌加法法则‌：

   (f+g)′=f′+g′(f+g)′=f′+g′

   例： (x2+sin⁡x)′=2x+cos⁡x(x2+sinx)′=2x+cosx

2. ‌乘法法则‌：

   (f⋅g)′=f′g+fg′(f⋅g)′=f′g+f**g′

   例： (x⋅ex)′=1⋅ex+x⋅ex=ex(1+x)(x⋅e**x)′=1⋅e**x+x⋅e**x=e**x(1+x)

3. ‌除法法则‌：

   (fg)′=f′g−fg′g2(g**f)′=g2f′g−f**g′

   例： (sin⁡xx)′=xcos⁡x−sin⁡xx2(xsinx)′=x2xcosx−sinx

4. ‌链式法则‌（复合函数求导）：

   ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)dxd**f(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)

   例： (sin⁡(2x))′=cos⁡(2x)⋅2=2cos⁡(2x)(sin(2x))′=cos(2x)⋅2=2cos(2x)

三、特殊求导技巧

1. ‌隐函数求导‌：
   当函数以方程形式给出（如 x2+y2=1x2+y2=1）

   • 两边同时对 xx 求导
   • 解出 dydxdxd**y

   x2+y2=12x+2ydydx=0dydx=−xyx2+y22x+2ydxdydxdy=1=0=−y**x

2. ‌对数求导法‌（适用于复杂函数）：

   • 取自然对数：ln⁡y=ln⁡f(x)lny=lnf(x)
   • 两边求导
   • 解出 y′y′

   例：y=xxln⁡y=xln⁡x1yy′=ln⁡x+x⋅1xy′=xx(ln⁡x+1)例：ylny**y1y′y′=x**x=xlnx=lnx+x⋅x1=x**x(lnx+1)

四、求导步骤总结（实战流程）

1. ‌识别函数类型‌（基本函数/组合函数）
2. ‌选择求导法则‌（公式/四则运算/链式法则）
3. ‌逐层求导‌（复合函数从外向内）
4. ‌化简表达式‌（合并同类项等）

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求导示例

示例 1：基本函数

f(x)=3x4−2cos⁡x+ln⁡xf(x)=3x4−2cosx+lnxf′(x)=12x3+2sin⁡x+1xf′(x)=12x3+2sinx+x1

示例 2：复合函数（链式法则）

y=esin⁡(3x)y=esin(3x)dydx=esin⁡(3x)⋅cos⁡(3x)⋅3=3esin⁡(3x)cos⁡(3x)dxd**y=esin(3x)⋅cos(3x)⋅3=3esin(3x)cos(3x)

示例 3：隐函数求导

方程：x3+y3=6xyx3+y3=6x**y

3x2+3y2dydx=6y+6xdydx3x2+3y2dxd**y=6y+6xdxdy(3y2−6x)dydx=6y−3x2(3y2−6x)dxd**y=6y−3x2dydx=6y−3x23y2−6x=2y−x2y2−2xdxd**y=3y2−6x6y−3x2=y2−2x2y−x2

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导数应用场景

1. 物理学：速度/加速度计算
2. 经济学：边际成本/收益分析
3. 工程学：系统变化率优化
4. 生物学：种群增长率研究

📌 ‌关键记忆点‌：

• 导数 = 瞬时变化率 = 切线斜率
• 幂函数求导：指数前置，指数减 1
• 复合函数求导：链式法则（从外向内）
• 遇到复杂函数：尝试取对数再求导

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